Хроматическая Теория Гомотопий

Давайте поговорим про Хроматическую Теорию Гомотопий. Я подразумеваю, что вы немного знакомы с ТК и Топологией.

Итак, прежде всего, предположим, вы верите в то, что пытаться классифицировать топологические пространства гомотопическим типом не бесполезная затея. Это практически невозможно, тем не менее цель эта благородная. Чтобы облегчить себе задачу мы будем рассматривать базовые простраства, которые могут быть созданы присоединением ячеек. Они иногда называются CW-комплексами или клеточными комплексами. Когда я говорю "склеивание ячеек", я имею в виду конструирование пушаута для конуса D^n <- S^{n-1} -> X, где X - некоторое пространство, D^n - n-диск, а S^{n-1} - его граница. Буквально — склейка диска по его границе.

Оказывается, что любое красивое пространство (компактно сгенерированное хаусдорфово) может быть построено таким образом, начиная с простых точек, хотя вам, возможно, придется присоединить бесконечное число ячеек. Другими словами, если единственными строительными блоками, которые мы имеем, являются ячейки, такие как D^n, мы можем, вплоть до гомотопии, создавать самые красивые топологические пространства (например, все те, которые появляются в таких приложениях, как дифференциальная геометрия).

Итак, чтобы понять, какие новые пространства мы можем построить из существующего пространства X присоединием ячеек, достаточно знать все способы, которыми сфера может непрерывно отображаться сама в себя (потому что мы прикрепляем ячейки с использованием отображений сфер). Вы, наверное, уже знаете, что множество способов отображения сферы в другое топологическое пространство X называется гомотопическими группами X. Поэтому, если мы можем вычислить гомотопические группы, то мы можем классифицировать (красивые) пространства с точностью до гомотопий. Конечно, вы также можете знать, что вычислять гомотопические группы топологических пространст действительно очень, очень сложно. В частности, самый простой вопрос который вы можете поставить — это какие пространства можно получить склейками любых сфер (S^n к S^m для любых n и m). Это будет набор групп с двумя индексами n и m, один для размерности сферы домена и один для размерности сферы кодомена. Знание этого могло бы стать неплохим стартом.

Плохие новости: мы незнаем эти группы, и никогда возможно не узнаем. Мы знаем множество их, и мы хороши в вычислении групп для фиксированных n и m, если хорошо постараемся, но непохоже чтобы там был некий очевидный паттерн для генерации всех таких групп. Ну хорошо, мы можем по крайнем мере попытаться, и надеяться, что мы увидим прикольные штуки по дороге решения этой задачи. Когда это все начиналось, не было известно, насколько это будет сложным (восходит к Пуанкаре), поэтому мы продвинулись довольно далеко, прежде чем поняли, что дело дрянь. В конечном счете, хроматическая гомотопическая теория представляет собой попытку разбить вышеописанные гомотопические группы сфер на строительные блоки, которые легче понять и с которыми легче работать. Слово "хроматический" относится к составляющим длинам волн, в которые "разлагается" белый свет.

Надеюсь, вы знаете, что для сферы S^n существует отображение "степени p" которое оборачивает сферу S^n вокруг себя p раз. Представим это отображение как p: S^n -> S^n. Это в точности то p, которое вы увидите, когда вспомните, что n-я гомотопическая группа сферы S^n — это целые числа Z. Заметьте, что это отображение генерирует целое семейство отображений S^n -> S^n, заданное итерированием p. Т.е. p^k: S^n -> S^n для любого k. Таким образом у нас вычислились некоторые гомотопические группы, но они не такие уж интересные. Одну вещь, которую мы можем сделать — это прицепить ячейку вдоль этого отображения (или любой его итерации), чтобы получить новое простраство, которое я запишу как V(0), или S^n mod p. Заметьте, что пушаут, который определяет прицепленную ячейку, сделал исходное отображение p гомотопным нулю (или гомотопически тривиальным). Заметьте, что V(0) это всего лишь (n+1)-сфера приклееная к n-сфере, существует включение нижней сферы S^n в V(0), назовем это i, и отображения V(0) -> S^{n+1}, которое стягивает нижнюю сферу, назовем это q. Таким образом, если бы у меня было другое отображение f:ΣV(0)->V(0), где Σ — надстройка (суспензия), тогда я бы мог слева закомпозить это с i, а потом справа закомпозить с q (i◦f◦q), чтобы получить новое отображение S^{n+1}->S^{n+1}, которе являлось бы своего рода порожденным с помощью f. Обратите внимание, что роль, которую играет надстройка, заключается в увеличении размерности нижней сферы в V(0). В противном случае мы имели бы отображение из S^n в S^{n+1}, и любое такое отображение было бы гомотопически тривиальным (обесценивая наши действия).

Причина, по которой мы это всё делаем, заключается в том, чтобы просто найти НЕКОТОРЫЕ элементы гомотопических групп сфер. В общем, нам потребовалось довольно много времени, чтобы найти ЛЮБЫЕ элементы гомотопических групп сфер, а тем более попытаться вычислить ВСЕ их. Таким образом, это было большое дело, когда люди как Адамс и Тода, смогли показать что, ДА, существует отображение ΣV(0) -> V(0) (здесь упускаются детали, на самом деле вам нужна больше чем одна надстройка). Более того, это отображение, назовем его A: ΣV(0) -> V(0), может быть итерировано бесконечное число раз, не становясь при этом гомотопически тривиальным. И каждый раз, когда мы итерируем, мы увеличиваем размерность. Итак, у нас есть все семейство отображений сфер, исходящих из (итерирующих) А. Под итерированием, я подразумеваю, что у меня есть отображение A: ΣV(0) -> V(0), поэтому я могу получить отображение ΣA: ΣΣV(0) -> ΣV(0), а затем другое отображение ΣΣA: ΣΣΣV(0) -> ΣΣV(0), и так до бесконечности, где размер доменной сферы будет становиться все больше и больше. Если это сработало однажды, почему бы не сделать это снова? Так же, как мы затюнили p раньше, давайте возьмем коядро отображения A (которое на самом деле называется корасслоением). Другими словами, стягивайте все, что попадает в A, давая нам точную последовательность пространств ΣV(0) -> V(0) -> V(0)/A.

Давайте переименуем V(0)/A = V(1). Теперь вам просто нужно поверить мне, что V(1) получается путем присоединения ячеек (смешивая склейки, которые мы сделали для построения V(0)), и поэтому, все еще существуют отображения с нижней сферы i: S^k -> V(1) и факторгруппы вплоть до верхней сферы q: V(1) -> S^k. Смит показал, что сущетвует другое отображение B:ΣV(1)->V(1), которое мы можем итерировать столько раз сколько мы захотим, и мы получим ДРУГОЕ большое семейство отображений между сферами. Итак, у нас есть два больших семейства отображений сфер (всех возможных измерений!), Я назову их A-семейство и B-семейство. Оказывается, что если вы снова "затюните" B, вы получите новое пространство, назовем его V(2), и вы можете повторить этот процесс еще раз. И действительно, существует карта C: ΣV(2) -> V(2), что дает нам другое семейство, я назову его C-семейством гомотопических групп сфер. Поэтому здесь возникают два естественных вопроса: 1) можно ли повторять это до бесконечности? 2) получим ли мы ВСЕ гомотопические группы сфер?

В некотором смысле, жемчужина хроматической гомотопической теории - это позитивный ответ на эти два вопроса (опять же, упуская много деталей). Это в действительности является содержание теорем Нильпотентности и Периодичности Девиннаца, Хопкинса и Смита. В своем основании, "хроматическая" идея заключается в том, что эти семейства, которые мы получили A, B и C, являются началом стратификации гомотопических групп сфер, и существует бесконечный список этих семейств. Таким образом, это разновидность глобальной структурной теоремы для этих рассыпаных и запутанных групп. Мы все еще не знаем их всех, но знаем, как они организованы. И учитывая, насколько они сложны, это действительно большая игра!

Еще раз немного об этом всем, что является идеей простых идеалов, локализации и К-теорий Моравы. Также тут будет немного алгебраической геометрии. Вы можете помнить, что если вы хотите узнать о пучке на Spec(Z), достаточно знать о нем в каждом простом числе, т.е. каждой "локализации" целых чисел Z. Таким образом хроматическая стратификация говорит о том, что в отличие от алгебраических разнообразия, информация о которых может быть собрана из целых простых чисел, информация о комплексах CW может быть собрана из этих так называемых хроматических слоев. На самом деле эти хроматические слои не просто стратифицируют гомотопические группы сфер, они стратифицируют всю категорию конечных CW-комплексов. Так как схема может быть разбита на ее p-локальные части для каждого простого p, пространство может быть разбито на его хроматические части. Это содержание Thick Subcategory Theorem, которая является частью теоремы о Нильпотентности и Периодичности (следствием). В ней говорится, что, находя эту стратификацию только из сфер, мы фактически стратифицировали все конечные клеточные комплексы. Здесь под конечным клеточным комплексом, я имею в виду пространство, которое построено путем выполнения конечного числа приклеиваний ячеек (начиная с пустоты). Более того, для тех из вас, кто знает, что это значит, существуют теории когомологий, которые говорят о том, на каком СЛОЕ находится данное пространство. И эти теории когомологий являются так называемыми К-теориями Моравы K(n), для натуральных n. Поэтому у конечного клеточного комплекса есть "тип", который является натуральным числом, и это число говорит мне, к какому хроматическому слою принадлежит конечный клеточный комплекс. Это может быть вычислено, потому что это просто первое n, для которого K(n) когомологии вашего пространства отличны от нуля.

K(0) соответствует степени отображения p, K(1) соответствует отображению A, K(2) соответствует отображению B и т.д. Эти соответствия я не буду рассматривать здесь детально. Но, в любом случае, появляется такая, действительно красивая, картина, где эти K(n) говорят нам о том, как разделить категорию конечных клеточных комплексов на более мелкие, удобоваримые "слои". Фактически, подобно тому, как вы можете локализовать схему или пучок для простого p, вы можете локализовать любое пространство в K(n) для любого n. И если вы знаете его K(n) локализацию для каждого n, тогда вы можете собрать это пространство по кускам, и вы будете знать все об этом пространстве. Это — небольшая часть того, что люди имеют в виду, когда говорят, что теория Моравы — это "простые числа" (стабильной) гомотопической категории. В сущности они — "места", в которых мы можем локализовывать, чтобы получить локальную информацию, которую мы хотим собрать в глобальную информацию.

Я должен добавить, что в основном все, что я знаю об этом, я узнал из "оранжевой книги", или "Нильпотентность и периодичность в Стабильной теории гомотопии" Дугласа Равенела. Это действительно красивая, потрясающая книга, и я всячески ее рекомендую.


Author: Jonathan Beardsley
https://twitter.com/koszuldude/status/1010341792829472768