Грандіозна теорема

ВІД: ДЕНІЕЛ ГОРЕНСТАЙН
ДО: Scientific American #2, ЛЮТ 1986, С.62–74

Як може доведення однієї математичної теореми потребувати 15 тисяч сторінок? Хто стане читати таке доведення? Хто візьметься судити про його справедливість? І тим не менш воно існує: доведення того, що виявлено всі прості скінченні групи, займає приблизно 10–15 тисяч журнальних сторінок. Це досягнення, звісно, не належить одній людині, а розміри доведення не пояснюються довгими машинними обчисленнями, хоча в одному місці комп’ютери справді застосовувалися. Цю роботу вдалося виконати завдяки об’єднаним зусиллям понад ста математиків, головним чином зі США, Великої Британії та ФРН, а також з Австралії, Канади та Японії. Повне доведення розкидане сторінками приблизно 500 статей у наукових журналах, причому майже всі вони опубліковані між кінцем 40-х і початком 80-х років.

Поняття групи — одне з найважливіших у математиці. Його ввів французький математик Еварист Галуа між 1830 і 1832 роками. Галуа використовував властивості груп, щоб отримати відповідь (що виявилася негативною) на питання, яке до нього намагалися розв’язати близько 200 років: чи можна виразити розв’язки алгебраїчних рівнянь п’ятого степеня (і вище) формулами, подібними до загальновідомих формул для розв’язків квадратних рівнянь (або менш відомих — для кубічних рівнянь і рівнянь четвертого степеня)? Хоча Галуа мав на увазі лише конкретне застосування до алгебраїчних рівнянь, виявилося, що групи зустрічаються всюди як у математиці, так і в інших науках.

Множини обертань сфери, періодичностей кристала, симетрії атома — усе це приклади груп. І навіть взаємодії елементарних частинок і «вісімковий шлях» (за допомогою якого частинки описуються як складні об’єкти, складені з кварків), щоб зробити їх зрозумілими, формулюють мовою теорії груп.

Групою є і звичайна система цілих чисел з операцією додавання; правила дій над елементами групи, по суті, і запозичені зі звичайної арифметики, тільки їм надано загальнішу форму. Знаючи, як чудово допомагає нам арифметика у повсякденному житті, не доводиться дивуватися, що ті самі концепції на більш абстрактному рівні стають потужним засобом вивчення Всесвіту.

Основними будівельними блоками для всіх груп є прості групи. Такі групи «зв’язуються» одна з одною подібно до атомів у молекулі, породжуючи дедалі складніші приклади груп. Термін «проста» аж ніяк не передбачає «просто влаштована». Атом, як відомо, має надзвичайно складну внутрішню структуру; те саме стосується і простих груп. Проста група «проста» лише в тому сенсі, що її, як і атом, не можна розбити на менші об’єкти того самого сорту.

Багато груп містять нескінченну кількість елементів. І тут добрим прикладом слугує згадана вище числова система: адже додавати можна як завгодно великі числа. Однак правила, що визначають дії над елементами групи, виконуються і для багатьох скінченних систем; такі системи називаються скінченними групами. Наприклад, годинникові позначки на циферблаті можна додавати так, як звичайно додають години, тобто отримуючи в сумі деяке число між 1 і 12: скажімо, додаючи 5 годин до 10 годин, отримуємо 3 години. Ці 12 чисел на циферблаті з визначеним таким чином додаванням утворюють групу з 12 елементів — так звану групу лишків за модулем 12. Можна розглядати такі групи з «періодом», відмінним від 12 (рис. на с. 64).

Що ж таке група? Формальне визначення встановлює це цілком точно, але щоб воно стало зрозумілішим, ми пояснимо його на конкретних прикладах. Група — це деяка множина елементів із заданою на ній операцією, яку часто позначають зірочкою (*) і називають груповим множенням. Для будь-яких двох елементів a і b заданої множини їхнє «добуток» a*b також має бути елементом цієї множини (у такому випадку кажуть, що множина замкнена відносно операції *). Далі, групова операція повинна задовольняти трьом умовам. По-перше, дана множина повинна містити так званий нейтральний елемент (позначимо його e), що має ту властивість, що для всякого елемента a нашої множини добутки a*e і e*a дорівнюють a. По-друге, для кожного елемента a в нашій множині повинен міститися обернений до нього елемент a⁻¹, такий, що a*a⁻¹ і a⁻¹*a дорівнюють e. По-третє, операція повинна бути асоціативною. Інакше кажучи, для будь-яких трьох елементів a, b і c даної множини результат застосування до них операції * не повинен залежати від того, в якій послідовності вона виконується: a*(b*c) дорівнює (a*b)*c.

Зауважимо, що у визначенні не вимагається, щоб операція * була комутативною: a*b, загалом кажучи, не дорівнює b*a. І справді, багато груп, що зустрічаються як у математиці, так і в інших науках, некомутативні (див. рисунок на с. 67).

Тепер неважко переконатися, що правила композиції елементів у групі — це не що інше, як основні закони арифметики в абстрактній формі. Покажемо, наприклад, що цілі числа утворюють групу відносно операції звичайного додавання. Груповий добуток двох цілих чисел a і b дорівнює в цьому випадку їхній звичайній сумі a+b; наприклад, 5*7 дорівнює 5+7, тобто 12. Нейтральним елементом слугує число 0; оберненим до числа a є число –a, і для будь-яких трьох чисел a, b і c виконано закон асоціативності: скажімо, 3+(4+5) дорівнює (3+4)+5. Ненульові раціональні числа утворюють групу відносно звичайного множення: нейтральним елементом тепер буде число 1, а оберненим до числа a — число 1/a. (Число 0 виключається саме тому, що не має оберненого.) У групі, що складається з 12 годинникових позначок на циферблаті, нейтральним елементом слугує «0 годин» (тобто «12 годин»), а оберненим до елемента «5 годин», наприклад, є елемент «7 годин». Перелічені арифметичні групи комутативні, оскільки ні додавання, ні множення чисел не залежать від порядку доданків або співмножників. З іншого боку, групи, елементи яких — певного виду обертання або відбиття правильних геометричних фігур (таких, як сфери або рівносторонні трикутники), майже завжди некомутативні.

Аналогія з числами допоможе нам наочніше пояснити, як складні групи побудовані із простих. Будь-яке ціле число або просте, або складене. Просте число (наприклад, 2, 3, 5, 7, 11 тощо) ділиться без остачі лише на 1 і на себе. Якщо число не просте, воно складене. Як стверджує основна теорема арифметики, всяке складене число розкладається на прості дільники, причому множина простих дільників заданого числа визначена однозначно. Наприклад, складене число 12 має прості дільники 2, 2 і 3.

У теорії груп існує певний процес, за допомогою якого довільна скінченна група розбивається на однозначно визначену множину простих груп — майже так само, як складене число розкладається на прості дільники. Більше того, число елементів у кожній із отриманих простих компонент виявляється дільником числа елементів вихідної групи, а добуток цих чисел по всіх простих компонентах дорівнює числу елементів у вихідній групі.

Однак не варто надто довірятися цій аналогії. Так, число елементів простої групи — компоненти вихідної — може бути складеним, а не простим. Ще важливіше таке: у той час як добуток усіх простих чисел із деякої заданої множини (скажімо, множини 2, 2, 3, 5) дає єдине складене число (у даному випадку 60), для простих груп це, загалом кажучи, не так: із заданої множини простих груп може отримуватися багато нееквівалентних груп.

Класифікація простих скінченних груп займає настільки незвичайне становище в анналах математики не лише завдяки непомірно довгому доведенню, а й завдяки інтригуючому характеру розв’язку. У процесі багаторічних досліджень поступово відкривалися нескінченні сімейства простих груп (і врешті-решт були побудовані всі 18 таких сімейств), але час від часу виявлялися і зовсім нерегулярні прості групи, які не вкладались у жодне сімейство і були тому названі спорадичними групами. Перші п’ять таких загадкових простих груп були відкриті Е. Матьє в 60-ті роки XIX століття: найменша з груп Матьє містить рівно 8×9×10×11, тобто 7920 елементів. Шоста спорадична група, що складається з 175 560 елементів, була виявлена лише через ціле століття З. Янко, який працював тоді в Університеті Монаш (Австралія).

Після цього на світ стали з’являтися нові дивні спорадичні творіння — приблизно по одному на рік, не відстаючи від інтенсивних теоретичних досліджень 60-х і 70-х років. Ці відкриття викликали серед математиків надзвичайне хвилювання, яке досягло найвищої точки в 1982 році, коли Р. Грісс-молодший, який працював у той час в Інституті перспективних досліджень, побудував групу, названу «монстром» за те, що число її елементів дорівнює 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000, або приблизно 8×10⁵³. Врешті-решт було відкрито 26 спорадичних простих груп. Група-монстр виявилася серед них найбільшою, проте в її структурі виявилося так багато внутрішніх симетрій, що Грісс перейменував її на «дружнього велетня».

Знайти просту групу — це одне, і нагородою слугує саме відкриття, але довести, що виявлено всі такі групи, — це зовсім інша справа. Однак саме в цьому полягає твердження класифікаційної теореми: «світ» простих скінченних груп містить 18 регулярних нескінченних сімейств груп і 26 спорадичних груп — і жодних інших! Ось для доведення цього твердження і знадобилося 500 статей, що займають близько 15 тисяч журнальних сторінок.

При нормальному перебігу подій результат може бути сформульований у вигляді гіпотези задовго до того, як його вдасться довести. Гіпотеза з’являється не на порожньому місці: вона підказана або попередніми дослідженнями, або тим, що існують математично нетривіальні приклади, для яких вона вірна. Однак протягом майже всієї «битви» з простими скінченними групами неможливо було навіть приблизно оцінити кількість військ супротивника. Здавалося цілком правдоподібним, що в надійних укриттях сховано ще багато — можливо, величезну кількість — спорадичних груп. Тому лише через багато років після початку роботи над класифікаційною проблемою спеціалісти з теорії груп змогли сформулювати теорему, яку вони сподівалися врешті-решт довести.

Такі обставини вимагали обережної стратегії. «Битви» велися лише з певними типами простих груп. Здобуті з великими труднощами перемоги приводили до часткових класифікаційних теорем, які поступово почали витягувати на світло менші із залишених спорадичних груп. Яскравим прикладом того, як розвивався цей процес, слугує відкриття З. Янко шостої спорадичної групи, зроблене у зв’язку з дослідженням 17-го регулярного сімейства простих груп, виявленого Р. Рі з Університету Британської Колумбії (Канада) у 1960 році.

Усередині всякої простої групи містяться певні менші групи, що називаються централізаторами інволюцій, які допомагають зрозуміти, як влаштована вихідна група. У випадку груп Рі централізатори інволюцій допускають представлення у вигляді групи квадратних матриць розміру 2×2, складених з елементів скінченної числової системи, розмір якої (тобто число її елементів) дорівнює деякій непарній степені числа 3. Наприклад, якщо 3 підноситься до степеня 1, то відповідна скінченна числова система складається з трьох елементів групи лишків за модулем 3. Для доведення однієї з ранніх часткових класифікаційних теорем потрібно було показати, що групи Рі — це єдині прості групи, що мають таку властивість: їхні централізатори інволюцій допускають представлення 2×2-матрицями, складеними з елементів скінченної числової системи розміру pᵐ, де p — просте, а m — непарне число. Першим природним кроком до досягнення цієї мети була спроба довести таку гіпотезу: якщо деяка проста група має зазначену властивість, то розмір скінченної числової системи, з якої беруться елементи 2×2-матриць, дорівнює непарній степені простого числа 3. З часом ця гіпотеза була перевірена для всіх випадків, крім одного: коли pᵐ = 5¹.

Янко приступив до дослідження цього виняткового випадку в повній впевненості, що простої групи потрібного типу з числовою системою розміру 5¹, тобто 5, не існує. Однак, попри усі зусилля, йому не вдалося виключити таку можливість і тим самим завершити доведення гіпотези. Навпаки, витративши чимало праці, він зумів показати, що якщо проста група такого вигляду існує, то вона складається точно з 2³×3×5×7×11×19 (тобто 175 560) елементів.

Навряд чи Янко вдалося б встановити настільки сильний результат, якби одна відповідна група не маячила на горизонті. З зростаючим нетерпінням він рушив далі і показав, що якщо така група існує, то вона породжується двома 7×7-матрицями, у стовпцях і рядках яких стоять елементи групи лишків за модулем 11 (див. нижній рисунок на с. 65). Якщо позначити дві ці матриці через A і B, то група складається з усіляких матричних добутків вигляду AA, BB, ABA, BBAABABBB тощо.

Залишалося лише дізнатися, чи справді ця група містить точно 175 560 елементів; якби це було не так, то міркування Янко приводили б до суперечності, яку він шукав з самого початку. На перший погляд здається дивним, що усілякі матричні добутки, складені з A і B, еквівалентні всього лише 175 560 матрицям (саме це і означає існування групи потрібного типу). Адже сюди входять і добутки, що містять понад мільйон A і B. Загальна кількість матриць розміру 7×7 з елементами з групи лишків за модулем 11 дорівнює, грубо кажучи, 11⁴⁹ або 10⁵¹, і, отже, добутки цих двох породжуючих матриць становлять серед них лише нікчемну частку. Тим не менш обчислення, проведені до того ж повністю вручну, підтвердили існування шостої спорадичної групи, яка на честь Янко (Janko) називається тепер J₁.

Побудова групи J₁ дещо нагадує відкриття у фізиці нової елементарної частинки. Спочатку теоретичний аналіз висуває доводи на користь існування нової простої групи, а потім воно підтверджується явними обчисленнями — за аналогією з експериментальною перевіркою.

Цей двоступеневий процес ще чіткіше проявився на прикладі другого досягнення Янко. Якщо клопоти з властивостями централізаторів інволюцій для груп Рі привели до відкриття групи J₁, то чому б не випробувати ту саму тактику з іншими відомими простими групами? Янко майже одразу «влучив у точку» і, більше того, домігся подвійного успіху. За допомогою одного централізатора інволюції він отримав вагомі доводи на користь існування двох нових простих груп — з 604 800 і 50 232 960 елементів, — хоча цього разу не зміг підтвердити його експериментально. На основі отриманої Янко інформації М. Холл-молодший і Д. Уелс з Каліфорнійського технологічного інституту побудували меншу з цих груп, J₂, а Г. Хігмен з Оксфордського університету і Дж. Маккей з Університету Конкордія (Канада) побудували більшу групу, J₃. Обчислення, пов’язані з J₃, уже неможливо було провести вручну, і вони виконувалися на комп’ютері.

Тепер атака переноситься в інше місце, оскільки Холлу і Уелсу вдалося побудувати J₂ як групу перестановок добре відомого вигляду. Учені кидаються в прорив, і до того моменту, як атака закінчується, виявляються відкритими ще чотири спорадичні групи. Наступні один за одним успіхи на цьому ранньому етапі лише посилили враження, що невиявлених спорадичних груп дуже багато — можливо, нескінченно багато. Однак після зрілих роздумів математики дійшли висновку, що відкриття груп J₂ і J₃ було майже дивом: з міріад можливих варіантів Янко вибрав один із зовсім небагатьох здатних принести плоди.

Вище вже йшлося про те, що всі скінченні групи розбиваються на прості групи, але ми не сказали точно ні того, що таке проста група, ні як виконати це розбиття. І те, і інше поняття пов’язане з важливим математичним поняттям гомоморфного образу. У гомоморфному образі групи «відображається» певне у цій групі множення, хоча сама група ніби зменшується. Це схоже на розглядання об’єкта в перевернуту підзорну трубу: його загальні риси зберігаються, хоча видимі розміри стають меншими.

Отже, припустімо, що кожному елементу a групи G поставлено у відповідність деякий елемент a′ групи G′; він називається образом елемента a. При цьому кільком елементам групи G може відповідати один і той самий елемент групи G′; цим і пояснюється зменшення. Крім того, припустімо, що кожен елемент групи G′ є образом хоча б одного елемента з G. Тоді для того, щоб група G′ була гомоморфним образом групи G, групові операції в них повинні бути тісно пов’язані між собою: якщо a і b з G мають у G′ образи a′ і b′, то добуток a′*b′ у G′ повинен бути образом добутку a*b з G.

Всяка група має принаймні два гомоморфні образи. Один з них — тотожний: G′ — це сама група G і кожен її елемент є своїм власним образом. Оскільки група G у такому випадку залишається недоторканою, умова, що стосується операцій, автоматично виконується. Другий гомоморфний образ, яким володіє кожна група G, — її одноточковий образ. У цьому випадку група G′ складається з одного елемента — нейтрального елемента e′, який і є образом кожного елемента з G. Тоді для будь-яких елементів a і b з G усі три елементи a, b і a*b мають у G′ один і той самий образ e′, а оскільки в G′ добуток e′*e′ дорівнює e′, то умова, що стосується операцій, знову виконана.

Тепер можна дати визначення простої групи: це група, що не має інших гомоморфних образів, крім тотожного і одноточкового. Найелементарніший приклад простих груп — групи лишків за модулем p, де p — просте число. Справді, згідно з однією теоремою з теорії груп, число елементів скінченної групи повинно ділитися без остачі на число елементів будь-якого її гомоморфного образу. Оскільки просте число не має інших дільників, крім 1 і самого себе, всякий гомоморфний образ групи лишків за простим модулем p повинен складатися або з одного, або з p елементів. Це означає, що такі групи не мають інших гомоморфних образів, крім тотожного і одноточкового. Отже, усі групи лишків за модулем p з простим p є простими, а оскільки простих чисел нескінченно багато, ці групи утворюють перше з 18 нескінченних сімейств простих скінченних груп.

Тепер на прикладі непростої групи пояснимо, як гомоморфні образи допомагають при розкладі її на прості компоненти. Множина всіх обертань правильного тетраедра, що переводять його в себе (тобто обертань, після яких повернутий тетраедр суміщується з вихідним), утворює групу: результат двох обертань можна представити як одне обертання, і для кожного допустимого обертання є обернене — те, яке повертає тетраедр у вихідну позицію. «Обертання», яке нічого не робить з тетраедром, слугує нейтральним елементом. У цій групі 12 елементів, що відповідають 12 різним розташуванням граней при одному й тому самому положенні тетраедра в просторі: кожна грань може займати одне з чотирьох місць і перебувати в трьох різних положеннях. Елементи цієї групи можна позначати вказанням перестановки вершин тетраедра. Наприклад, «поворот по ребру», при якому вершина в положенні 1 міняється місцями з вершиною в положенні 2, а вершина в положенні 3 — з вершиною в положенні 4, позначається (12)(34); «поворот по грані», який переводить вершину 1 у положення 2, вершину 2 у положення 3, а 3 у 1, позначається (123) (див. рисунок на с. 66).

Тепер покажемо, що ця група G обертань правильного тетраедра має гомоморфний образ, що не є ні тотожним, ні одноточковим. Звідси випливатиме, що група G не проста. Як G′ візьмемо групу лишків за модулем 3. Тоді групу G можна відобразити на G′ таким способом: нейтральний елемент 0 групи G′ нехай буде образом чотирьох елементів (1), (12)(34), (13)(24) і (14)(23) групи G, елемент 1 — образом чотирьох елементів (123), (134), (243) і (142), а елемент 2 — образом чотирьох елементів (132), (234), (124) і (143) (див. рисунок на с. 68).

Потрібна чимала робота з перевірки умов, що стосуються операцій. Розглянемо, наприклад, елементи (123) і (134). Їхній добуток (123)*(134) у групі G — результат застосування до тетраедра повороту (123), а потім повороту (134) — дорівнює повороту (124) (див. рисунок на с. 67). Образами трьох цих елементів у G′ є відповідно 1, 1 і 2. Добуток 1*1 у G′ дорівнює 1+1 (mod 3), тобто елементу 2. Отже, для двох елементів (123) і (134) розглянута умова виконана. Точно так само потрібно перевірити її для решти елементів групи G. Оскільки група G складається з 12 елементів, а G′ з трьох, то G′ нетотожний і не одноточковий гомоморфний образ групи G. Отже, G — не проста група.

Як же знайти прості компоненти групи обертань G? Одна з них і є група G′ лишків за модулем 3. Справді, G′ є гомоморфним образом групи G і G′ — проста група, оскільки 3 — просте число. Зробимо наступний крок і розглянемо ті елементи групи G, образом яких є нейтральний елемент e′ групи G′. Це чотири обертання: (1), (12)(34), (13)(24) і (14)(23). Перелічені чотири елементи самі утворюють групу. Таку групу всередині групи називають підгрупою. Вона складається з чотирьох поворотів по ребру, при яких кожна з граней тетраедра переходить у переднє положення, але сама грань не повертається (див. рисунок на с. 66).

Підгрупа поворотів по ребру теж не проста: її гомоморфні образи не вичерпуються тотожним і одноточковим, а містять ще групу лишків за модулем 2. Нейтральний елемент останньої групи відповідає повороту по ребру (12)(34) і елементу (1), а другий її елемент — поворотам по ребру (13)(24) і (14)(23). Оскільки група лишків за модулем 2 теж проста, вона слугує другою простою компонентою в розкладі вихідної групи G обертань тетраедра (див. рисунок на с. 69).

Зробимо, нарешті, останній крок і розглянемо два елементи (12)(34) і (1) групи поворотів по ребру, для яких образом є нейтральний елемент групи лишків за модулем 2. Вони теж складають групу, а група з двох елементів має лише два гомоморфні образи — тотожний і одноточковий. Отже, підгрупа, що складається з повороту по ребру (12)(34) і нейтрального елемента, сама є простою групою, еквівалентною групі лишків за модулем 2. Інших гомоморфних образів немає, і, отже, G має три прості компоненти: групи лишків за модулем 3, 2, 2. Оскільки G складається з 12 елементів, а 3×2×2 дорівнює 12, цей результат узгоджується зі зробленим вище зауваженням про те, що добуток числа елементів у простих компонентах повинен дорівнювати числу елементів вихідної групи.

Легко показати, що групи лишків за простим модулем — це єдині комутативні прості групи. Справді, якщо число n елементів комутативної групи складене, то для будь-якого його дільника d група має гомоморфний образ, що містить рівно d елементів, а оскільки d необов’язково дорівнює 1 або n, то ця група не проста. Наприклад, група чотирьох поворотів по ребру тетраедра — це комутативна група з чотирьох елементів, n=4. Але 4 ділиться на 2, тому d може дорівнювати 2 і, отже, група має гомоморфний образ з двох елементів (вище ми в цьому переконалися). Отже, всяка проста група, крім груп лишків, містить принаймні одну пару елементів a, b, для якої a*b не збігається з b*a.

Найменша некомутативна проста група складається з 60 елементів. Її можна описати як групу обертань правильного додекаедра, що переводять його в себе. При цьому кожна з 12 граней додекаедра може займати п’ять різних положень — цим і пояснюється число 60 (див. рисунок на с. 63).

Група додекаедра тісно пов’язана з групою тетраедра. Остання влаштована так само, як група так званих парних перестановок чотирьох літер. Якщо, наприклад, літери ABCD переставлені так: CBAD, то це непарна перестановка, тому що в ній порядок порушено тричі: C стоїть перед B, C стоїть перед A, B стоїть перед A. З іншого боку, у «слові» DCBA порядок порушено шість разів, отже це парна перестановка. Група додекаедра влаштована так само, як група парних перестановок п’яти літер.

У той час як група тетраедра не є простою, усі парні перестановки п’яти і більше літер утворюють некомутативні прості групи. Ці групи — їх називають знакозмінними групами на n літерах — становлять друге нескінченне сімейство простих груп. До речі, саме ця принципова відмінність між знакозмінними групами степеня меншого або рівного 4 і степеня більшого або рівного 5 лягла в основу досліджень Галуа, присвячених алгебраїчним рівнянням. Саме цією відмінністю і пояснюється принципова різниця у властивостях розв’язків алгебраїчних рівнянь степеня меншого або рівного 4 і степеня більшого або рівного 5.

Описати інші сімейства простих груп важче. Усі вони допускають представлення як групи квадратних матриць певного розміру. Іноді ці групи з самого початку визначалися як такі групи матриць, в інших випадках матричні представлення доводилося шукати. Те саме стосується спорадичних груп, але з ними справа стоїть ще складніше — у деяких випадках для матричного представлення потрібні були машинні обчислення. Цікаво, що для «монстра» — найбільшої спорадичної групи — Гріссу вдалося побудувати представлення повністю вручну. У ньому беруть участь квадратні матриці розміру 196 883×196 883, складені з комплексних чисел. Назви і порядки всіх сімейств простих груп і спорадичних груп указані в наведеній нижче таблиці.

Повний список простих скінченних груп складається з 18 нескінченних сімейств і 26 спорадичних груп (група Тітса ще, Максим); указано і число елементів кожної групи. Позначення нескінченних сімейств літерами від A до G взято з теорії груп Лі, названих так на честь С. Лі. Сімейства названо іменами К. Шевалле, Р. Стейнберга (Каліфорнійський університет у Лос-Анджелесі), М. Судзукі (Іллінойський університет) і Р. Рі (Університет Британської Колумбії). Спорадичні прості групи названо іменами Е. Матьє, З. Янко (нині — Гейдельберзький університет), Д. Хігмена (Мічиганський університет), Ч. Сімса (Університет Ратгерса), Дж. Маклафліна (Мічиган), М. Судзукі, А. Рудваліса (Массачусетський університет в Амхерсті), Д. Хелда (Майнцький університет), Р. Лайенса і М. О’Нейна (Університет Ратгерса), Дж. Конвея (Кембриджський університет), Б. Фішера (Білефельдський університет), К. Харади (Університет шт. Огайо), Дж. Томпсона (нині — Кембриджський університет) і Р. Грісса-молодшого (Мічиганський університет). Окремі прості групи, що входять до того чи іншого нескінченного сімейства, позначаються числовими індексами n, p і q, де n може бути будь-яким додатним числом, а p — будь-яким простим числом. Індекс q повинен дорівнювати числу елементів деякої скінченної числової системи; можна показати, що точно одну числову систему можна побудувати на множині з q елементів лише тоді, коли q — степінь простого числа з цілим показником. Отже, позначення сімейств передбачають прості групи лише для значень q, рівних 2, 2², 2³, ..., 3, 3², 3³, ..., 5, 5², 5³, ... тощо, але є й інші винятки. Наприклад, лінійна група Шевалле A₁(3) виключена зі списку умовами на n і q, оскільки це непроста група, а саме група обертань правильного тетраедра. Число n, яке називається рангом сімейства, для виняткових груп Шевалле набуває лише значень 2, 4, 6, 7 і 8. Групи Рі і групи Судзукі визначені лише для значень q, рівних непарній степені m числа 2 або 3. Число елементів у кожній групі сімейства дається виразом або числом у другому стовпці обох таблиць. Тут d позначає найбільший спільний дільник (н.с.д.) двох чисел або виразів, що стоять у дужках одразу після скорочення «Н.С.Д.». У першій таблиці символ групи, оточений вертикальними рисками, позначає число елементів у цій групі.

Багато сімейств некомутативних простих груп були відкриті вже на початку століття, і в кожній такій групі, так само як і в п’яти спорадичних групах Матьє, виявилося парне число елементів. Цей факт незабаром привів до природної гіпотези: всяка некомутативна проста скінченна група повинна містити парне число елементів. Однак перевірити цю, що стала до того часу знаменитою, гіпотезу вдалося лише в 1962 році. Це зробили Дж. Томпсон і У. Фейт, які працювали тоді в Чиказькому університеті. Складність доведення цього легко зрозумілого твердження вже віщувала непомірну довжину повної класифікації простих груп. Доведення теореми Томпсона–Фейта зайняло всі 255 сторінок одного з номерів журналу «Pacific Journal of Mathematics». У 1965 році Фейт і Томпсон отримали за цю роботу премію Коула з алгебри.

Теорему Томпсона–Фейта теж можна розглядати як часткову класифікаційну теорему. У такій формі вона стверджує, що єдині прості групи, що містять непарне число елементів, — це групи лишків за непарним простим модулем. Мета повної класифікаційної теореми — перелічити всі прості скінченні групи, хоч би якими великими вони не були. Як уже говорилося вище, у своїй остаточній формі теорема стверджує, що повний список складається з 18 регулярних нескінченних сімейств простих груп і 26 спорадичних груп.

Якщо одне лише доведення теореми Томпсона–Фейта потребувало понад 250 журнальних сторінок, то не дивно, що доведення набагато складнішого твердження — повної класифікаційної теореми — займає багато тисяч сторінок. Його розміри не можна пояснити трудністю опису відомих простих груп. Групи лишків можна описати в кількох рядках, і тим не менш Фейту і Томпсону знадобилися сотні сторінок, щоб показати, що інших простих груп з непарним числом елементів не існує. Неозора величина класифікаційного доведення пояснюється іншими причинами.

Усе справа полягає у складності внутрішньої будови довільної скінченної групи порівняно з простою групою (точно так само складна молекула має набагато заплутанішу внутрішню структуру, ніж один атом). Щоб краще зрозуміти характер класифікаційної проблеми, уявімо собі, що прості скінченні групи розкидані по деякій області на площині (див. рисунок на с. 70).

Спеціалісти з теорії груп не могли починати своє доведення з припущення, що всяка проста група влаштована приблизно так само, як деяка відома проста група, бо це, по суті, і повинна була продемонструвати остаточна теорема. Більш точне уявлення про те, що саме потрібно було довести, ми отримаємо, якщо вважатимемо, що внутрішня будова простих груп, укладених у розглянутій плоскій області, може варіюватися за складністю так само широко, як і будова довільних скінченних груп. Точками на межі області представлені відомі прості групи; біля них розташовуються групи, будова яких дуже нагадує будову найближчих відомих простих груп; нарешті, чим далі лежать точки в глибині області, тим менше подібності має будова відповідних їм груп із відомими простими групами.

На початковому етапі доведення доводиться мати справу з цілком невідомою простою групою, про внутрішню будову якої заздалегідь нічого не можна сказати: вона може виявитися так само заплутаною, як і у довільної непростої групи. Зобразимо дану групу точкою десь посередині області. Щоб довести класифікаційну теорему, потрібно за допомогою математичних міркувань змусити цю точку зрушити в одну з точок на межі. Кожне мале просування точки в бік межі слід розуміти як крок до уточнення раніше невідомої будови даної групи. У міру наближення точки до межі будова даної групи ще більше відповідає одній із відомих простих груп.

Оскільки «пунктом призначення» може виявитися будь-яка точка на межі, при такому подорожі не уникнути обстеження численних можливих шляхів. Нові шляхи виникають на розвилках — там, де з’ясовується, що є кілька варіантів внутрішньої будови даної групи. Для завершення доведення довелося пройти загалом близько сотні різних шляхів. Таким чином, класифікаційна теорема — це насправді сума приблизно ста окремих теорем, які всі разом приводять до потрібного висновку.

Одну з найважливіших віх на шляху до межі встановив у 40-х і 50-х роках Р. Брауер своїми новаторськими роботами, присвяченими централізаторам інволюцій. Пояснимо, що це таке. У групі, де не всі елементи переставні між собою, іноді корисно розглянути множину всіх елементів групи, переставних із деяким заданим елементом a, тобто множину всіх елементів g, для яких a*g збігається з g*a. Ця множина називається централізатором елемента a. Легко перевірити, що централізатори самі є групами відносно операції у вихідній групі, і, отже, вони утворюють підгрупи даної групи. Тривіальним прикладом слугує централізатор нейтрального елемента e; він завжди збігається з усією вихідною групою, оскільки одна з умов, що визначають групу, у тому й полягає, що кожен елемент групи переставний із нейтральним елементом. Більш змістовний приклад — централізатор елемента (123) у групі обертань тетраедра: до нього входять нейтральний елемент, сам (123) і (132).

Ідея Брауера полягала в тому, щоб зосередити увагу на тих елементах a групи, виключаючи e, для яких груповий добуток a*a дорівнює e. Елементи з такою властивістю називаються інволюціями. Легко показати, що інволюції є в кожній групі з парним числом елементів. Тому, згідно з теоремою Томпсона–Фейта, всяка некомутативна проста група містить інволюції. Брауер почав із того, що обчислив централізатори інволюцій у деяких із 18 регулярних сімейств, і виявив, що вони мають таку саму внутрішню будову, як вихідна група, але в зародковій формі. Тоді Брауер зацікавився, чи можна відновити всю вихідну групу, знаючи лише централізатори інволюцій, і через якийсь час дійшов ствердної відповіді на це питання в деяких важливих часткових випадках.

Дослідження Брауера не лише підготували ґрунт для відкриття багатьох спорадичних груп, а й виробили процедуру, яка дозволила розділити подорож до межі області простих груп на два етапи. Спочатку потрібно довести, що централізатор деякої інволюції в невідомій простій групі дуже схожий на централізатор інволюції в одній із відомих простих груп. До цього аспекту проблеми класифікації належать шляхи, що проходять поблизу центральної точки.

Але подібність між централізаторами інволюцій у двох групах — далеко не те саме, що збіг самих груп: адже централізатор інволюції — це лише мала частина всієї групи. Тому на другому етапі доведення слід розширити отриману локальну інформацію про подібність централізаторів інволюції до глобальної еквівалентності самих груп, показавши, що дана невідома проста група є не чим іншим, як однією з відомих простих груп. Таким чином, шляхи, що проходять поблизу точок на межі, належать до процесу визначення відомої простої групи на основі відомостей про її централізатори інволюцій. Розділення доведення класифікаційної теореми на ці два етапи можна зобразити замкненою кривою, що проходить всередині області приблизно на півдорозі від центральної точки до межі.

З багатьох математиків, які брали участь у роботі над класифікаційним доведенням в останні 10 років, я хотів би назвати М. Ашбахера з Каліфорнійського технологічного інституту. У 1972 році в серії лекцій, прочитаних у Чиказькому університеті, я виклав програму з 16 пунктів для визначення всіх скінченних простих груп, тобто фактично підказав, якими шляхами потрібно добиратися до межі. Я передбачав успішне завершення подорожі до кінця століття, але мій проект і супутній йому оптимізм були зустрінуті скептично.

Ні я, ні мої слухачі не взяли до уваги Ашбахера. Новачок у цій галузі, який щойно закінчив навчання, він став починаючи з цього моменту головною рушійною силою моєї програми. З приголомшливою швидкістю він доводив одну дивовижну теорему за іншою. І хоча в цьому останньому штурмі було багато інших учасників, Ашбахеру ми зобов’язані тим, що відведений у моєму проекті строк у 30 років скоротився до 10.

Що ж принесе майбутнє? Зараз я і кілька моїх колег працюємо над тим, щоб побудувати класифікаційне доведення другого покоління. Перше доведення охоплювало багато ранніх статей, написаних задовго до того, як з’явилася загальна стратегія остаточного розв’язку. Тому у виклад першого доведення з неминучістю вкралися помилкові ідеї, неефективні міркування, повтори. Якщо наша робота увінчається успіхом, то доведення другого покоління становитиме лише одну п’яту першого і набуде в стільки ж разів більшої ідейної ясності. За математичними стандартами доведення в 3000 сторінок усе одно буде надто довгим. Однак складність проблеми така, що з коротким доведенням доведеться почекати, бо воно потребуватиме цілком нових методів.

Класифікація простих скінченних груп, з усією ймовірністю, має широкі зв’язки з іншими розділами математики. Цей результат уже знайшов застосування в таких різних галузях, як теорія алгоритмів, математична логіка, геометрія, теорія чисел. Зараз стало відомо, що група-монстр має глибокі зв’язки, ще повністю не розкриті, з теорією еліптичних функцій.

Вплив класифікації за межами математики поки неясний. «Ходять чутки», що дружній велетень Грісса, можливо, увійде у формулювання якоїсь єдиної теорії поля для елементарних частинок. Але як би не було з додатками, безперечно одне — спеціалісти з теорії скінченних груп розв’язали головну задачу своєї науки, що стояла перед ними, хоча й у неявному вигляді, з тих пір, як Галуа ввів у математику поняття групи.