Модельные категории

PhD Дэниела Квиллена было посвящена дифференциальным уравнениям, но сразу после этого он перевелся в МИТ и начал работать в алгебраической топологии, под влиянием Дэна Кана. Через три года он издает Шпрингеровские лекции по математике "Гомотопическая алгебра" [0], которая навсегда транформировала алегбраическую топологию от изучения топологических пространств с точностью до гомотопий до общего инструмента, применимого в других областях математики.

Модельные категории впервые были успешно применены Воеводским для доказательства конъюнктуры Милнора [1] (для 2) и потом мотивной конъюнктуры Блоха-Като [2] (для n). Для доказательства для 2 была построена удобная стаблильная гомотопическая категория обобщенных схем. Инфинити категори Джояля, достаточно хорошо исследованые Лурье [3] являются прямым обобщением модельных категорий.

Ко времени когда Квиллен написал "Гомотопическую алгебру" уже было некоторое представление о том, как должна выглядеть теория гомотопий. Начинаем мы с категории С и коллекции морфизмов W — слабыми эквивалентностями. Задача упражнения инвертировать W морфизмы чтобы получить гомотопическую категорию. Хотелось бы иместь способ, чтобы можно было конструтировать производные функторы. Для топологического пространства X, его аппроксимации LX, и слабой эквивалентности LX -> X это означает, что мы должны заменить X на LX. Это аналогично замене модуля или цепного комплекса на проективную резольвенту. Двойственным образом, для симплициального множества K, Кан комплекса RK, и слабой эквивлентности K -> RK мы должны заменить K на RK. В этом случае это аналогично замене цепного комплекса инъективной резольвентой.

modelStructure (C: category): U = (fibrations: fib C) * (cofibrations: cofib C) * (weakEqivalences: weak C) * unit

Таким образом Квиллену требовалось кроме понятия слабой эквивалентности еще и понятия расслоенного (RK) и корасслоеного (LX) объектов. Ключевой инстайт из топологии тут следующий, в неабелевых ситуациях объекты не предоставляют достаточной структуры для понятия точной последовательности. Поэтому стало понятно, что для воостановления структуры необходимо еще два класса морфизмов: расслоения и корасслоения в дополнения к слабым эквивалентностям которым мы должны инвертировать для порстроения гомотопической категории. Естественным образом эти три коллекции морфизом должны удовлетворять набору условий, называемых аксиомами модельных категорий: 1) наличие малых лимитов и колимитов, 2) правило 3-для-2, 3) правило ректрактов, 4) правило подъема, 5) правило факторизации.

Интересным свойством модельных категорий является то, что дуальные к ним категории переворачивают расслоения и корасслоения, таким образом естественным образом реализуя дуальность Экманна-Хилтона. Расслоения и корасслоения сопряжены, поэтому взаимоопределены. Корасслоения есть морфизмы, что имеют свойство левого гомотопического подъема по отношению к ациклическим расслоениям и расслоения есть морфизмы, что имеют свойство правого гомотопического подъема по отношению к ациклическим кофибрациям.

Основным приложением модельных категорий в работе Квиллена было посвящено категориям топологических пространств. Для топологических пространств существует две модельные категории: Квиллена (1967) и Строма (1972). Первая в качестве расслоеный использует рассления Серра, а в качестве корасслоений морфизмы которые имеют левый гомотопический подъем по отношению к ациклическим расслоениям Серра, эквивалетно это ретракты соотвествующих CW-комплексов, а в качестве слабой эквивалентности выступает слабая гомотопическая эквивалентность. Вторая модель Строма в качестве расслоений используются расслоения Гуревича, в качестве корасслоений стандартные корасслоения, и в качестве слабой эквивалентности -- сильная гомотопической эквивалетность.

quillen67 : modelStructure Top = ( serreFibrations , retractsCW , weakHomotopyEquivalence ) strom1972 : modelStructure Top = ( hurewiczFibrations , cofibrations , strongHomotopyEquivalence )

Простейшие модельные категории можно построить для категории множеств. Однако в этом случае количество изоморфных моделей возрастает до девяти. Приведем некоторые конфигурации модельных категорий для категории множеств.

set0: modelStructure Set = (all,all,bijections) set1: modelStructure Set = (bijections,all,all) set2: modelStructure Set = (all,bijections,all) set3: modelStructure Set = (surjections,injections,all) set4: modelStructure Set = (injections,surjections,all)

В контексте модельных категорий определяются сопряжения Квиллена, левый и правый функторы Квиллена, Квиллен эквивалентности, левый и правый производные функторы, расширения Риди (так как в общем случае лимиты и колимиты не существуют в гомотопических категориях определенных на модельных категориях, то модельные категории наделяются дополнительной структурой. Например есть категории С, и Риди категории J то J -> C имеет всю необходимут структуру для существования гомотопических (ко)лимитов).

Для перехода от модельных категорий к инфинити категориям [или (∞,1)-категориями] необходимо перейти к категориям где морфизмы образуют не множества, а симплициальные множества. Потом можно переходить к локализациям.

simplicial : modelStructure sSet = ( kanComplexes , monos , simplicialBijections )

Но для нас, для программистов самые интересные являются модельные категории симплициальных множеств и модельные категории кубических множеств, именно в этом сеттинге написан CCHM пейпер 2016 года, где показана модельная структура категории кубических множеств [4,5].

cubical : modelStructure cSet = ( kanComplexes , monos , geometricRealisation )

где cSet = [□op,Set], а □ — категория наделенная структурой алгебры де Моргана.




[0]. Homotopical Algebra. D.Quillen. 1967.
[1]. The Milnor conjecture. V.Voevodsky. 1996.
[2]. Bloch-Kato conjecture for Z/2 coefficients and algebraic Morava K-theories. V.Voevodsky. 2003.
[3]. Higher Topos Theory. J.Lurie. 2009.
[4]. Model structure on cubical sets. J.Jardine. 2002.
[5]. Model structure on cubical sets. E.Cavallo, A.Mörtberg, A.Swan. 2019.
[6]. Univalence in Simplicial Sets. C.Kapulkin, P.Lumsdaine, V.Voevodsky. 2012.
[7]. The constructive Kan-Quillen model structure: two new proofs.
N.Gambino, C.Sattler, K.Szumiło. 2019.
[8]. Homotopy Limits, Completions and Localizations. D.Kan, A.Bousfield. 1972.
[9]. A1-homotopy theory of schemes. F.Morel, V.Voevodsky. 1999.