Теорії Янга-Міллса

З точки зору алгебраїчної топології.

Електромагнетизм (Фотон)

Теорія квантової електродинаміки розвинулася в 1930—1940-х рр., де унітарна група перетворень відіграє головну роль $U(1)$. Шредінгер показав, що група $U(1)$ викликає фазовий зсув $e^{i\theta}$ в електромагнітному полі, що відповідає збереженню електричного заряду, зокрема при розповсюдженні світла.

Електромагнітне поле може бути описано як вектор потенціал $A\mu$ і тензор $F\mu\nu$. Звʼязок між групою $U(1)$ і перетвореннями Лоренца полягає в тому, що калібрувальне перетворення електромагнітного потенціалу $A\mu$ при $U(1)$ аналогічне перетворенню просторово-часових координат при перетвореннях Лоренца. В обох випадках ці перетворення гарантують, що основна фізика залишається незмінною.

Теорії Янг-Міллса

Калібровочна теорія поля — це тип теорії поля де Лангранжін, а значить і динамічна система загалом, є інваріантним відносно локальних трансформацій згідно певного гладкої сімʼї операторів (Груп Лі).

Теорія Янга-Міллса — це калібровочна квантова теорія поля, де головну роль відіграє спеціальна унітарна група $SU(n)$, або більш загально, довільна компактна група Лі.

Слабка взаємодія (W і Z бозони)

Група $SU(2)$ формалізує інваріант ізоспіна при колізіях, спричиненими сильними взаємодіями. Многовид $S^3$ є дифеоморфізмом до групи $SU(2)$, який показує, що $SU(2)$ (многовид) є однозв’язним і що $S^3$ може бути наділений структурою компактної зв’язної групи Лі.

Сильна взаємодія

Квантова хромодинаміка є неабелевою калібровочною теорією поля на локальній (калібрувальній) групі симетрії під назвою $SU(3)$. Її топологічну структуру можна зрозуміти зауваживши, що $SU(3)$ діє транзитивно на одиничній сфері $S^{5}$ у $\mathbb{C}^3 ≅ \mathbb{R}^6$. Стабілізатор довільної точки сфери ізоморфний до $SU(2)$, яка топологічно є 3-сферою. Це показує, що SU(3) є розшаруванням над базою $S^5$ з розшаруванням $S^3$. Так як розшарування і бази просто-з'єднані, тоді просто-зв'язність $SU(3)$ випливає з стандартного топологічного результату (довга точна послідовність гомотопічних груп для пучків розшарувань).