Філософія математики
Я думаю почати писати книжку про математику. То як я її бачу, старий дід, який приклав математику до математики, шоб вийшла ше класніша математика! Книжка Формальна (Математична) Філософія є, тепер треба класична книжка Філософія Математики.
Математика – це мова мислення.
Почати хочу з того, що математика це мова надзвичайних символів, які вибудовуються в слова і речення, кожен з яких живе у своїх місцях у своїх всесвітах. Це така сама мова, як скажімо нотний стан чи електричні контури, чи мова програмування, чи українська мова.
Арифметика, те що рахується, це ще не математика, але вже потужна формальна система, яка називається Аксіоматика натуральних чисел Пеано. Для того шоб її пояснити достатньо одного символа I і правила конкатенації символа I до пустого або непустого слова. Якшо записувати палочки
□, |, ||, |||, ||||, ...
то отримаємо конструктивні об'єкти всіх натуральних чисел. Якшо ми добавимо ше один символ "-", то ми отримаємо цілі числа. Якшо добавимо ше символ "/" то отримаємо раціональні числа:
I/II, -I/III, I/IIII, ...
Мова конструктивних об'єктів.
Конструктивні об'єкти (слова) --- це ті об'єкти, які можна побудувати зліченою кількістю операції над символами.
Всі конструктивні об'єкти можуть бути закодовані послідовністю натуральних чисел, тобто збережені, або як програмісти кажуть, серіалізовані.
Математики конструюють в голові (чи справді це так?) алфавіти і операції конструювання слів шоб сформулювати конструктивні об'єкти і передати їх для діалогу з іншим математиком.
Вірші про візерунки ізоморфізмів.
Велике і цікаве питання тут виникає щодо порівняння двох конструктивних об'єктів. Як мінімум математики повинні відрізняти конструктивні об'єкти і стверджувати про їх рівність за злічену кількість операцій. Така рівність, часто називається вбудованою, або рівністю за визначенням: конструктивні об'єкти вважаються рівними якшо їх слова рівні посимвольно.
Глибше і цікавіше буде дізнатися зараз, що конструктивні об'єкти можуть бути різними але все одно дорівнювати одне одному семантично, зводитися за злічену кількість операцій одне до одного, тощо. Така рівність вже не є вбудованою, а виникає з самої формальної системи. Вона будує транспорти між двома закодованими словами в натуральні числа і стверджує що ці два числа рівні в цій системі.
Такі склейки точок простору (ізомормізми, які живуть у формальній системі) дуже цікаві, і їх дослідження я називаю головною математичною класифікацією! Всі математичні таксономії, такі як Грандіозна Теорема (про класифікацію скінченних груп) так чи інакше зводяться до класифікації з точністю до ізоморфізмів.
Субматематика (Логіка).
Отше якшо математика не зводиться до арифметики, а до чогось фундаментальнішого, до малювання рисочок, то це шось називається логіка. Це будування логічних речень — предикатів, які складаються зі слів (що у свою чергу складаються з букв) і схем їх композицій. Хоча математики не існувало за часів Атіші, гомотопічна некласична (IPL) логіка вже існувала. Така логіка, де НЕ ДЛЯ ВСІХ Х НЕ НЕ X ДОРІВНЮЄ X, ДЕ Х це довільний конструктивний об'єкт і де НЕ ІСНУЄ ТАКОГО Х ДЕ Х І НЕ Х ЗАВЖДИ починається вивчатися у зрілому віці, після школи. А перша теорема, коли ми доводимо шо слова і символи скорочуються у потрібне речення, починає вичатися у молодому віці, до средньої школи, після початкової, молодших класів. Ці дві математичні точки розділяють плід мислення на три періоди: дитяче, зріле і доросле, або як ми кажемо: педагогіка молодших класів, середньої школи і вищої школи.
Метаматематика (Теорія типів).
Ми вже достатньо знаємо про конструктивні об'єкти і математику, щоби задуматися над думкою, а що якщо застосувати кодування букв, слів і речень для само-опису, тобто формалізації наступних конструкцій: 1) ДЛЯ ВСІХ Х ТАКИХ ЩО P(X); 2) ІСНУЄ Х ТАКЕ ЩО P(X).
Тоді ми побудуємо локальну декартово-замкнену категорію, і залежне лямбда числення яке дозволить нам оперувати з простором, борелевськими множинами значно елегатніше, майже природніше, або істинно природніше.
На цій мові ми напишемо формальний аналіз, і теорію розподілів Лорана Шварца, формалізацію L^2 просторів і стохастичних процесів. І поступимо в інститут на перший курс.